对2021年3月份中学生标准能力测试两题的扩展

有的学校会组织学生考中学生标准能力测试卷，这种测试以扩宽视野为主，题目较为新颖，难度可能比平时的模拟测试大一些，如果只是以数学题型的参考为目的，参加这种测试还是有意义的，如果太过于执着分数就大可不必了。

翻了下3月份的数学卷，没看到有多新颖的题目，反而其中的两道题目很眼熟，今天对这两道题目做一次扩展。

这道题目在公众号2021年9月21日立体几何中的动点轨迹问题最后一题中已经给出了，当时的题目是选自网络，由此看来，标准能力测试中的题目也不全都是原创类题目，本题考查了正四面体中常用结论中的对棱长度，有关正四面体中的常用结论在题目的最后再给一次，正四面体的对棱互相垂直，若连接对棱的两个中点，则外接球球心在公垂线段的中点处，题目中有两个变量，即对棱上两个动点到各自中点的长度x,y，所求EF与x,y有关，先用x,y将EF表示出，能发现EF²=x²+y²+16,只需从另外一个条件中求出x²+y²即可，题目中所给的PQ长度为y的一半，若链接EN并取其中点，根据中位线可证明三角形PQG为直角三角形，利用勾股定理即可求出x²+y²的值，过程如下：

在我看来本题目解题的关键就在于辅助图形，正四面体可补全为正方体，这样正四面体球心的位置可在正方体中很直观的表示出，这样作图其中的垂直关系更容易获取，之前推送的题目条件类似，E,F依旧为对棱长两个动点，但长度已知，求EF中点的轨迹，只需在小三角形中求出球心到EF中点的长度为定值即可，题目如下：

与正四面体有关的常用结论，若设棱长为a,注意对棱长和面面角的余弦值。

最近翻看各省市的模拟题在解析几何大题中总能看到内切圆的影子，但内切圆本身的知识点和应用方法上很单一，考查内切圆无非考查三角形的面积和周长，本题目难度并不大，分别求出R,r即可，题目给出了焦点三角形的顶角，可根据正弦定理表示出R，求r需知焦点三角形的面积和周长，面积根据顶角公式可直接求出，求周长时可通过面积相等求出|PF1||PF2|,再根据余弦定理求出|PF1|+|PF2|，周长和面积都知道求r即可，本题目没什么难度，但计算量很大，这种计算量的题型不会出现在高考小题中，题目过程为：

借此题目可回顾一下双曲线中的内切圆问题，这个内切圆可能为焦点三角形也可能是一个焦点和一条焦点弦的两个交点的连线，之前给出过双曲线内切圆的相关专题，其中有一个结论有必要了解一下，如本题中焦点三角形的内切圆与x轴的切点恰好为左顶点，链接为：焦点三角形中的内切圆问题，以双曲线为例

根据条件中的最值可知a+b+c=1，第二问证明不等式，左侧三个根式相加，若用到条件，则左侧需要产生a,b相加，b,c相加，a,c相加且各自系数相同，若要去掉根式，根式内要利用不等式产生平方项的形式，若直接配方，方法如下：

这道题目的标准答案并不是这样给出的，而是用到了一个与平方有关的常用不等式，借此题目回顾一下这个不太常用的不等式：

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