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一道高难度初中数学竞赛题: 不少学生一筹莫展, 学霸也发愁

2021-12-30 访谈 158 ℃ 0 评论
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因式分解是中学数学的重要考点,中考中都会有直接因式分解的题目,还有不少利用因式分解来解题的题目,高考中也有不少题目会用到因式分解。因式分解在中考中的难度一般不是很大,只需要用书本上讲到的提公因式法、公式法、十字相乘法等简单方法就能做出来。

中考考得简单,并不代表因式分解没有难题,本文就和大家分享一道初中数学竞赛题里面的因式分解题目:分解因式x^3+(2a+1)x+(a^2+2a-1)x+a^2-1。这道题的难度还是比较大的,不少同学看到题后一筹莫展,甚至一些学霸也发愁。

接下来我们一起来看一下这道题。

题目中出现了x的三次方,因此有同学首先想到了用立方公式进行分解,正好里面还有个“1”可以看成1的立方,所以将x^3-1先分解,即x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)。不过后面又该怎么分解呢?剩下的作为一组是很难进行分解的。所以这条路是行不通的。

本文和大家分享三种解法。

解法一:拆项法

对于高次多项式的因式分解,拆项或者添项后再分组是一个重要思路。本题中三次项、二次项、一次项都存在,所以可以优先考虑拆项法。

拆项的目的是为了分组,直接拆项不太好拆,所以可以先将常数项即a^2-1进行分解,然后再把二次项拆项。这个时候拆项的方向就找到了:拆项后的二次项的一部分与一次项、常数项可以进行因式分解。剩下的部分二次项再与三次项作为一组,这样就可以继续分解。

解法二:变换主元法

一般情况下,我们会默认x为主元,a为参数。但是如果我们变换一下主元呢?也就是说把a看成主元,x当成参数,此时就可以整理成一个关于a的二次三项式,这样一来就变得更加简单了。

当然,在解题过程中,在适当的步骤又可以转化为以x为主元进行分解。比如可以中间的步骤再次转化主元(见下图),也可以在以a为主元分解完成后再写成以x为主元的形式。

在本题中,变换主元就起到了降幂的作用,让分解更加简单。

解法三:整式除法(长除法)

利用整式除法分解因式时需要先试根,即先找出这个多项式对应方程的一个根。当然,在试根的时候用的最多的数字是±1和±2。比如此题中,x=-1就是原多项式对应方程的一个根,所以(x+1)就是原多项式的一个因式,然后再用长除法的形式求出另外一个因式。

需要注意的是,长除法得到的商也就是另外一个因式往往并不是最终形式,而还需要进行进一步的分解。但是,此时的分解一般都不太难了,用简单的十字相乘法就可以完成。

这道高难度的初中数学竞赛题就和大家分享到这里。

本文来源:http://www.bbscode.com/fangtan/3976.html

Tags:高难度初中数学学生

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