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分享一道有关圆的综合题, 此题看起来比较难, 关键是弄清角的关系

2022-04-21 时评 42 ℃ 0 评论
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各位朋友,大家好!今天,“数学视窗”给大家讲解一道有关数形结合的几何综合题,这道题目中的条件比较多,需要解决两个小题,有一定的难度。大家在做题时必须完全弄清所给出的条件之间的联系。此题考查了圆的综合运用、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识。下面,我们就一起来看这道例题吧!

例题:(初中数学综合题)如图,已知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D,连接OA.

(1)若点A可在优弧BC上运动,且∠BAC=60°,OA=1,求△ABC面积的最大值.

(2)若点E在线段OA上,OE=OD,连接DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n是正数),若∠ABC<∠ACB,求证:m+2=n.

分析:大家想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路:

(1)连接OB、OC,则∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°,即可求OD=1/2OB=1/2OA;由于BC长度为定值,所以当BC边上的高最大,△ABC面积就最大,据此即可求解;

(2)设∠OED=a,由图可知∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-ma-na=1/2∠BOC=∠DOC,而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-ma-na+2ma=180°+ma-na,据此即可求解.

解答:(以下的过程仅供参考,可以部分进行调整,并且可能还有其他不同的解题方法)

(1)解:如图,连接OB、OC,

∵OD⊥BC于点D,

∴∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°,

∴∠OBC=30°,

∴OD=1/2OB=1/2OA=1/2,

在直角三角形BOD中,

BO=OA=1,OD=1/2,

∴BD=√3/2,

∵BC长度为定值,

∴当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,

即AD经过点O时,AD最大,

故:AD=AO+OD=3/2,

∴△ABC面积的最大值为:

1/2×BC×AD

=1/2×2BD×3/2

=1/2×√3×3/2

=3√3/4;

(2)证明:设∠OED=a,则∠ABC=ma,∠ACB=na,

根据三角形内角和定理,得

∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB

=180°-ma-na

=1/2∠BOC=∠DOC,

∵∠AOC=2∠ABC=2ma,(圆周角定理)

∴∠AOD=∠COD+∠AOC

=180°-ma-na+2ma

=180°+ma-na,

∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE=a,

∴∠AOD=180°-2a,

即:180°+ma-na=180°-2a,

化简,得:m+2=n.

(完毕)

这道题考查了圆的内容、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识,解答本题的关键是灵活运用三角形内角的关系,再根据数形结合求解。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。

本文来源:http://www.bbscode.com/shiping/12175.html

Tags:较难关键关系

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