分享一道有关圆的综合题, 此题看起来比较难, 关键是弄清角的关系

各位朋友，大家好！今天，“数学视窗”给大家讲解一道有关数形结合的几何综合题，这道题目中的条件比较多，需要解决两个小题，有一定的难度。大家在做题时必须完全弄清所给出的条件之间的联系。此题考查了圆的综合运用、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学综合题）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若点A可在优弧BC上运动，且∠BAC=60°，OA=1，求△ABC面积的最大值．

（2）若点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m+2=n．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）连接OB、OC，则∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，即可求OD=1/2OB=1/2OA；由于BC长度为定值，所以当BC边上的高最大，△ABC面积就最大，据此即可求解；

（2）设∠OED=a，由图可知∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-ma-na=1/2∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-ma-na+2ma=180°+ma-na，据此即可求解．

解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）解：如图，连接OB、OC，

∵OD⊥BC于点D，

∴∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，

∴∠OBC=30°，

∴OD=1/2OB=1/2OA=1/2，

在直角三角形BOD中，

BO=OA=1，OD=1/2，

∴BD=√3/2，

∵BC长度为定值，

∴当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，

即AD经过点O时，AD最大，

故：AD=AO+OD=3/2，

∴△ABC面积的最大值为：

1/2×BC×AD

=1/2×2BD×3/2

=1/2×√3×3/2

=3√3/4；

（2）证明：设∠OED=a，则∠ABC=ma，∠ACB=na，

根据三角形内角和定理，得

∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB

=180°-ma-na

=1/2∠BOC=∠DOC，

∵∠AOC=2∠ABC=2ma，（圆周角定理）

∴∠AOD=∠COD+∠AOC

=180°-ma-na+2ma

=180°+ma-na，

∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE=a，

∴∠AOD=180°-2a，

即：180°+ma-na=180°-2a，

化简，得：m+2=n．

（完毕）

这道题考查了圆的内容、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识，解答本题的关键是灵活运用三角形内角的关系，再根据数形结合求解。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。

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