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二次曲线系解题示范

2022-04-16 小学 53 ℃ 0 评论
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圆系方程在高中数学必修二直线与圆中涉及过,在一些直线与圆锥曲线的交点问题中有时候也可以利用二次曲线系来解,例如之前推送过的证明点共圆的曲线系解法,链接为:圆锥曲线点共线和点共圆问题

用二次曲线系解圆锥曲线问题并不具有普适性,但是在处理一些特定的问题时还是比较不错的,若直线Ax+By+C=0与曲线b²x²+a²y²-a²b²=0(以椭圆为例)交点所在的曲线方程我们可以写成Ax+By+C+λ(b²x²+a²y²-a²b²)=0,此时我们就可以用这个方程来研究与交点坐标有关的问题,若是双直线与椭圆有四个交点,则我们可用如下的二次曲线系方程来研究四个点坐标以及四个点所形成的两条直线的一些问题:(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)+λ(b²x²+a²y²-a²b²)=0

除了常见的证明四点共圆之外,还能用来确定某些交点的轨迹方程或者与直线方程有关的问题,今天以两个相似的题目为例,来看看此类问题如何进行解答:

传统的方法不再给出,A,B,M,N四点都在椭圆上,我们可以用双直线与椭圆写出一个四个点都满足的统一的二次曲线系方程,这个方程所具有的项有x²,y²,xyx,y,k

上述二次方程还等价于直线AB与直线MN方程的乘积形式,且我们知道AB的方程为y=0,对比系数可求得直线MN的方程,令y=0,即可确定出直线MN与x轴交点的坐标。

若设直线MN的方程为Ax+By+C=0,则直线AB与直线MN方程的乘积形式为y(Ax+By+C)=0

可知需要出现xy项,y²项,y项,其余的x²项,x项和常数项都不存在

解题过程并不复杂,因为我们提前知道了需要的项,根据二次曲线系方程写出对应项的系数即可,相似题目如下:

本题目根据对称可判断出S点在一条与x轴垂直的直线上,传统方法也不说了,做法类似上题,还是根据A1A2与PQ的方程确定对应的系数,找到S点横纵坐标之间的关系即可:

从上面xy的系数和y的系数互为相反数即可找到xo,y0的关系,即无论m取何值,点S都在直线x=4上

有关二次曲线系在圆锥曲线中的更多应用,以后整理出来慢慢给出,这种做法不属于高考中要求的常规做法,不知道会不会扣分,酌情使用即可。

本文来源:http://www.bbscode.com/xiaoxue/11679.html

Tags:曲线

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